Funzioni crescenti= e decrescenti. Massimi, minimi, concavità, convessità e punti di flesso di una funzione.

&Oslas= h; Teorema 1.=

Sia f(x) una funzione continua nell’intervallo [<= i>a,b] e derivabile in ogni punto di (a,b).

Allora_{<=
/sub>tale che risulta:}

a)&n= bsp; f^I<=
/span>(x)= > 0 _{<=
/sub> f(x) =
crescente
in [a,b]}

<= span style=3D'font-size:10.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;line-height:200%;font-f= amily: Tahoma;mso-fareast-font-family:Tahoma'>b) f^{I(x) < 0 _{<=
/sub> f(x) =
decrescente
in [a,b]}}

Esempio1. La funzione y=3Dx³ ̵= 1; 3x – 2

y^{I <=
/span>}=3D = 3x² – 3 _{<=
/sub> 3x2
– 3 =3D 0 _{<=
/sub> x =3D=
1 _{<=
/sub> x =3D -1}}}

La funzione data è crescente per

x<= /span> &= lt; -1 x > 1.=

È decrescente per

&#= 8211;1 < x < 1.

Sostituendo i due valori nell’equazione della funzione, otteniamo che f(-1) =3D 0, mentre f(1) =3D = -4

Oss= erva: i p= unti dove f^I(x) =3D 0 sono punti in cui la tangente alla funzione &e= grave; orizzontale (parallela all’asse x). Possiamo avere quattro situazioni diverse:


x<= sub>0 = =3D as= cissa del massimo	x<= sub>0 = =3D as= cissa del minimo	x<= sub>0 = =3D fl= esso a tangente orizzontale ascendente	x<= sub>0 = =3D fl= esso a tangente orizzontale discendente

Def= inizione: <= /span>dir= emo flesso (punto di flesso) di una funzione il punto che separa la parte convessa di = una curva dalla sua parte concava. In particolare, se si passa da una concavità verso il basso ad una verso l’alto, il flesso &egrav= e; ascendente, viceversa è discendente. Esistono anche flessi a tangente obl= iqua (vedi più avanti).

&Oslas= h; Teorema 2.=

Diremo che x₀ è un punto di massimo o= di minimo di una funzione se risulta:

f^I(x₀) =3D 0 _{<=
/sub> f II(x₀)
_<=
/sub> 0}

Se, quindi, f(x) è dotata di derivata prima e di derivata seconda continua nell’intorno di x₀ e se risulta:=

a)      f^I(x₀) =3D 0 _{<=
/sub>  f II(x₀)
> 0    _{<=
/sub>  x0}
è un punto di minimo relativo}

<= span style=3D'font-size:10.0pt;mso-bidi-font-size:12.0pt;line-height:200%;font-f= amily: Tahoma;mso-fareast-font-family:Tahoma'>b)      f^{I(x₀) =3D 0 _{<=
/sub>  f II}}(x₀) < 0    _{<=
/sub>  x0} è un punto di massimo relativo

Esempio 2. Nell’esempio 1 precedentemen= te dato

y^{I <=
/span>}=3D = 3x² – 3   _{<=
/sub>   y^II=3D 6x   _{<=
/sub>   f^II(-1) =3D -6, che è < 0.=

Allora il punto (-1 ; 0) è di mass=
ima
(max)}}

f^{II <=
/sup>(1) =3D 6, che è > 0.&nb=
sp;
Allora il punto (1 ; -4) è di mini=
mo (min)}

Osserva: che P₁ (-1 ; 0) =3D max e P₂ (1 ; -4) =3D min lo avevamo già capito prima con il solo studio della derivata prima. Conviene, però, fare una verifica calcolando f^II(x).

&Oslas= h; Teorema 3.=

Sia f(x) una funzione dotata di derivata prima e di derivata seconda in tutti i punti di un intervallo aperto I.

Allora_{<=
/sub>risulta che:}

a)&n= bsp; f^II=(x)= > 0 _{<=
/sub> f(x) =
convessa
in I (concavità verso l’alto)}

b)&n= bsp; f^II=(x)= < 0 _{<=
/sub> f(x) =
concava
in I (concavità verso il basso)}

Convessa

Concava

Osserva che la tangente alla curva passa da coefficiente angolare negativo a coefficiente angolare positivo.

Qu= indi f^I^{cresce,
allora f^II>=
0}

Osserva che la tangente alla curva passa da coefficiente angolare positivo a coefficiente angolare negativo.

Qu= indi f^Idecresce, allora f^II< 0

Esempio 3. La funzione dell’esempio 1 precedentemente dato

y ^II=3D 6x &nbs= p; y ^II> 0 6x > 0

y ^II è qui= ndi positiva per x > 0

Sostituendo il valore ottenuto all’equazione de= lla funzione originaria, otterremo che f(0) =3D -2

in x =3D 0 y ^II=3D 0 &nbs= p;

&Oslas= h; Teorema 4.=

Sia f(x) una funzione dotata di der= ivata prima, seconda e terza, continue nell’intorno di un punto x0.

Se risulta:

a)<= span class=3DGramE> f= ^II(x₀) =3D 0 e f^III(x₀) &g= t; 0 _{<=
/sub> x₀
è un punto di flesso ascendente}

b)<= span class=3DGramE> f= ^II(x₀) =3D 0 e f^III(x₀) &l= t; 0 _{<=
/sub> x₀
è un punto di flesso discendente}

Nell’esempio precedente, f^II(x) =3D = 6x <= sub><= /sub> f^III= =3D 6, che è > 0. Il punto x₀ =3D 0 che annulla la derivata secon= da è un punto di flesso ascendente, in quanto la derivata terza è maggiore di zero. P₃ (0 ; 2) =3D fles= so a tangente obliqua ascendente.

&Oslas= h; Teorema 5.=

Se una funzione f(x) è derivabile n volte= con derivata n-esima continua in un intorno del punto x₀ e se risulta f^I(x₀) =3D f^II(x₀) =3D … =3D f^(n-1)(x₀) =3D 0 e fⁿ _{<=
/sub>0, allora:}

a)&n= bsp; quando n è pari, x₀ è un punto di minimo relativo, se risul= ta che fⁿ(x₀) > 0, viceversa è di massimo relativo se risulta che fⁿ(x₀) < 0;

b)&n= bsp; quando n è dispari, x₀ è un punto di flesso orizzontale ascendente, se risulta che fⁿ(x₀) > 0, viceversa è un punto di flesso discendente se risulta che fⁿ(x0) < 0.

Esempio 5. f(x) =3D y =3D x⁵ = + 1

f^I(x= ) =3D 5x⁴

f^II(x) = =3D 20x³

f^III(x) = =3D60x²

f^V(x) =3D= 120x

f^V(x) =3D= 120

f^I(x= ) =3D 0 per x =3D 0

valutata in x =3D 0 si ha

f^I(0= ) =3D 0

f^II(0= ) =3D 0

f^{II I}(0= ) =3D 0

f^IV(0= ) =3D 0

f^V(0= ) =3D 120

f<= /span>^V= &= gt; 0 l’ordine della deri= vata è dispari, quindi, nel punto x =3D 0, la funzione presenta un fles= so orizzontale ascendente

P_flesso = (0 ; 1)

&Oslas= h; Schema fino alla deri= vata terza (max, min, flesso orizzontale).

f^=
II(= x₀) > 0 allora x₀ è un = punto di minimo relativo

Se f^I(x0) =3D 0 <= /span>e

f^=
II(= x₀) < 0 allora x₀ è un = punto di massimo relativo

f^II(x₀) =3D 0

allora<= span style=3D'mso-spacerun:yes'> x₀ è un = flesso ascendente a tangente orizzontale

allora<= span style=3D'mso-spacerun:yes'> x₀ è un = flesso discendente a tangente orizzontale

&Oslas= h; Flesso a tangente obl= iqua

<= o:p>		f^= III(= x₀) > 0 allora x₀ è un flesso ascendente a tangente obliqua
Se ( f^I(x₀) 0 f^II=(x₀) =3D 0 ) e
<= o:p>		f^= III(= x₀) > 0 allora x₀ è un flesso discendente a tangente obliqua

Se il punto dove si annulla la derivata prima è = degenere (si annullano tutte le derivate fino all’ordine n-1), allora <= i>vedi teorema 5.