Funzioni crescenti e decrescenti. Massimi, minimi, concavità, convessità e punti di flesso di una funzione.

Ø      Teorema 1.

Sia f(x) una funzione continua nell’intervallo [a,b] e derivabile in ogni punto di (a,b).

Alloratale che risulta:

a)      f I(x) > 0    f(x) crescente in [a,b]

b)      f I(x) < 0    f(x) decrescente in [a,b]

Esempio1.  La funzione y=x3 – 3x – 2

y I = 3x2 – 3    3x2 – 3 = 0    x = 1  x = -1

La funzione data è crescente per

x < -1  x > 1.

È decrescente per

–1 < x < 1.

Sostituendo i due valori nell’equazione della funzione, otteniamo che f(-1) = 0, mentre f(1) = -4

Osserva: i punti dove f I(x) = 0 sono punti in cui la tangente alla funzione è orizzontale (parallela all’asse x). Possiamo avere quattro situazioni diverse:

x0 = ascissa del massimo

x0 = ascissa del minimo

x0 = flesso a tangente orizzontale ascendente

x0 = flesso a tangente orizzontale discendente

Definizione: diremo flesso (punto di flesso) di una funzione il punto che separa la parte convessa di una curva dalla sua parte concava. In particolare, se si passa da una concavità verso il basso ad una verso l’alto, il flesso è ascendente, viceversa è discendente. Esistono anche flessi a tangente obliqua (vedi più avanti).

Ø      Teorema 2.

Diremo che x0 è un punto di massimo o di minimo di una funzione se risulta:

f I(x0) = 0    f II(x0)  0

Se, quindi, f(x) è dotata di derivata prima e di derivata seconda continua nell’intorno di x0 e se risulta:

a)      f I(x0) = 0    f II(x0) > 0      x0 è un punto di minimo relativo

b)      f I(x0) = 0    f II(x0) < 0      x0 è un punto di massimo relativo

Esempio 2.  Nell’esempio 1 precedentemente dato

y I = 3x2 – 3      y II = 6x      f II (-1) = -6, che è < 0.  Allora il punto (-1 ; 0) è di massima (max)

f II (1) = 6, che è > 0.  Allora il punto (1 ; -4) è di minimo (min)

Osserva: che P1 (-1 ; 0) = max e P2 (1 ; -4) = min lo avevamo già capito prima con il solo studio della derivata prima. Conviene, però, fare una verifica calcolando f II(x).

Ø      Teorema 3.

Sia f(x) una funzione dotata di derivata prima e di derivata seconda in tutti i punti di un intervallo aperto I.

Allorarisulta che:

a)      f II(x) > 0    f(x) convessa in I (concavità verso l’alto)

b)      f II(x) < 0    f(x) concava in I (concavità verso il basso)

Convessa

Concava

Osserva che la tangente alla curva passa da coefficiente angolare negativo a coefficiente angolare positivo.

Quindi fI cresce, allora f II  > 0

Osserva che la tangente alla curva passa da coefficiente angolare positivo a coefficiente angolare negativo.

Quindi f I  decresce, allora f II< 0

Esempio 3.  La funzione dell’esempio 1 precedentemente dato

y II = 6x           y II > 0        6x > 0

y II è quindi positiva per x > 0

Sostituendo il valore ottenuto all’equazione della funzione originaria, otterremo che f(0) = -2

in  x = 0  y II = 0

Ø      Teorema 4.

Sia f(x) una funzione dotata di derivata prima, seconda e terza, continue nell’intorno di un punto x0.

Se risulta:

a)   f II(x0) = 0  e  f III(x0) > 0       x0 è un punto di flesso ascendente

b)   f II(x0) = 0  e  f III(x0) < 0       x0 è un punto di flesso discendente

Nell’esempio precedente, f II (x) = 6x       f III = 6, che è > 0. Il punto x0 = 0 che annulla la derivata seconda è un punto di flesso ascendente, in quanto la derivata terza è maggiore di zero. P3 (0 ; 2) = flesso a tangente obliqua ascendente.

Ø      Teorema 5.

Se una funzione f(x) è derivabile n volte con derivata n-esima continua in un intorno del punto x0 e se risulta f I(x0) = f II(x0) = … = f (n-1)(x0) = 0  e  f n 0, allora:

a)      quando n è pari, x0 è un punto di minimo relativo, se risulta che f n(x0) > 0, viceversa è di massimo relativo se risulta che f n(x0) < 0;

b)      quando n è dispari, x0 è un punto di flesso orizzontale ascendente, se risulta che f n(x0) > 0, viceversa è un punto di flesso discendente se risulta che f n(x0) < 0.

Esempio 5.  f(x) = y = x5 + 1

f I (x) = 5x4

f II (x) = 20x3

f III (x) =60x2

f V (x) = 120x

f V (x) = 120

f I (x) = 0   per  x = 0

valutata in x = 0 si ha

valutata in x = 0 si ha

valutata in x = 0 si ha

valutata in x = 0 si ha

f I (0) = 0

f II (0) = 0

f II I (0) = 0

f IV (0) = 0

f V (0) = 120

f V > 0  l’ordine della derivata è dispari, quindi, nel punto x = 0, la funzione presenta un flesso orizzontale ascendente

Pflesso (0 ; 1)

| | | |

Ø      Schema fino alla derivata terza (max, min, flesso orizzontale).

f II(x0) > 0   allora   x0 è un punto di minimo relativo

Se f I(x0) = 0  e

f II(x0) < 0   allora   x0 è un punto di massimo relativo

|

f II(x0) = 0

allora   x0 è un flesso ascendente a tangente orizzontale

allora   x0 è un flesso discendente a tangente orizzontale

Ø      Flesso a tangente obliqua

f III(x0) > 0   allora  x0 è un flesso ascendente a tangente obliqua

Se ( f I(x0) 0  f II(x0) = 0 )  e

f III(x0) > 0   allora  x0 è un flesso discendente a tangente obliqua

Se il punto dove si annulla la derivata prima è degenere (si annullano tutte le derivate fino all’ordine n-1), allora vedi teorema 5.