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- by gino speranza
- a.s. 2002/2003
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- ALL’EPOCA DI GALILEI, NEWTON, KEPLERO, COPERNICO(‘500 E
‘600), STUDIANDO IL MOTO DEI PIANETI E DEI PROIETTILI SI POSE =
IL
PROBLEMA DI CALCOLARE VELOCITA’ ISTANTANEE ED ELEVATE. FINO AD ALLORA =
LE
VELOCITA’ PIU=
217;
ELEVATE CONOSCIUTE ERANO QUELLE DI ALCUNI ANIMALI E DELLA FRECCIA
SCOCCATA DA UN ARCO. MA UN
PROIETTILE CHE ESCE DA UN’ARMA DA FUOCO VA ALLA VELOCITA’=
; DI
CIRCA 1000 Km/h.
- LA TERRA =
SI
MUOVE SULLA SUA ORBITA
INTORNO AL SOLE ALLA VELOCITA’ MEDIA DI 30 Km/sec!(108.000 Km/=
h)
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- MA, COSA ANCORA PIU’ IMPORTANTE, QUESTE VELOCITA’ VARIAN=
O IN
CONTINUAZIONE( DALLA SECONDA LEGGE DI KEPLERO DEDUCIAMO CHE LA TERRA=
HA
ALL’AFELIO UNA VELOCITA’ MINORE CHE AL
PERIELIO...).NELL’ISTANTE IN CUI UNA PALLOTTOLA COLPISCE UNA
PERSONA E’ IMPORTANTE LA SUA VELOCITA’ , OVVERO LA
RAPIDITA’ DI VARIAZIONE DELLA DISTANZA IN FUNZIONE DEL TEMPO. =
SE
QUELLA VELOCITA’ E’ DI UN CHILOMETRO E MEZZO ALL’O=
RA,
LA PALLOTTOLA CADRA’ INNOCUA AI PIEDI DELLA PERSONA.
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- SE E’ INVECE DI MILLECINQUECENTO CHILOMETRI ALL’ORA, A
CADERE SARA’ LA PERSONA E IL FUTURO NON POTRA’ APPORTARLE
ALTRI DANNI!
- PER CUI SI PONEVA URGENTE LA RICERCA DI UNO STRUMENTO DI CALCOLO DEL=
LA
VELOCITA’ ISTANTANEA
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- Ragionamento fatto da Newton Leibnitz…
- Se voglio la velocità all’istante t1, consid=
ero,
a partire da detto istante, un intervallo di tempo Dt e la distanza D<=
/font>s percorsa dal punto mobile in detto interval=
lo di
tempo. Il rapporto Ds / Dt mi darà la velocità media nel=
l’intervallo
di tempo Dt.
Considerando un intervallo di tempo Dt ‘ più piccolo e rip=
etendo
l’operazione avrò un’altra velocità media
più vicina, però, alla velocità all’istan=
te t1.
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- Ed ecco l’intuizione geniale: se faccio tendere a zero
l’intervallo di tempo Dt avrò una velocità media
praticamente uguale alla velocità all’istante t1.
tutto sta, allora, a saper calcolare
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- Data una funzione y =3D f(x), sia x0 un punto del suo dom=
inio.
Si chiama incremento della funzione relativo al punto x0 =
la
differenza
- Df =3D f(x0
+ h) –f(x0)
- Si definisce rapporto incrementale della funzione relativo al punto =
x0
il rapporto:
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- Remember:
- Il coeffi=
ciente
angolare di una retta è uguale alla tangente dell’angolo
positivo che il semiasse positivo delle ascisse forma con la retta:<=
/li>
- =
;
t)y =3D mx+q
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- Osserviamo la figura:
- Nel
triangolo rettangolo PHQ, per noto teorema di trigonometria si ha:
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- Dunque il rapporto incrementale di una funzione relativo al punto x<=
sub>0
è il coefficiente angolare della retta secante il grafi=
co
della funzione nei punti P, di ascissa x0, e Q di ascissa x0 + =
h
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- Si definisce derivata della funzione f(x) nel punto x0, e=
si
indica con uno dei seguenti simboli: f’(x0), Df(x0),
y’(x0), il seguente limite:
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- Si chiama tangente ad una curva in un suo punto P, la posizione limi=
te, se
esiste, della retta che unisce P con un altro punto Q della curv=
a,
allorché si fa avvicinare Q indefinitamente a P, sia da destra
che da sinistra.
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- Si noti che la posizione limite di PQ deve esistere( ed essere sempr=
e la
stessa)comunque Q si avvicini a P.
- La curva disegnata a fianco non è dotata, secondo la definizi=
one,
di tangente nel punto P, perché la posizione limite di PQ
è t’ o t’’ secondo che Q si avvicini a P dal
ramo sinistro oppure dal ramo destro.
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- Abbiamo visto che il rapporto incrementale di una funzione relativo =
al
punto x0 è uguale al coefficiente angolare della r=
etta
secante il grafico della funzione nei punti P e Q di ascissa,
rispettivamente, x0 ed x0+h.
- Ora se facciamo tendere h a 0 il punto Q si muove sulla curva e si
avvicina al punto P e la retta secante, ruotando intorno a P, si
avvicina alla retta tangente alla curva nel punto P.
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- Dunque la derivata di una funzione in un punto x0 è
uguale al coefficiente angolare della retta tangente il grafico della
funzione nel punto P di ascissa x0. Cioè f=
217;(x0)
=3D mt =3D tgω (dove ω è l’angolo =
positivo
che il semiasse positivo delle ascisse forma con la tangente al graf=
ico
in P[x0, f(x0)])
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- Dato un punto P(x0, y0), il fascio di rette di
centro P ha equazione:
- y-y0=3Dm(x-x=
0)
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- La tangente ad una curva y =3D f(x) in un suo punto P[x0,=
f(x0)],
ha equazione:
- Y-f(x0) =3D f’(x0)(x-x0)
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- CREATO PER LA V A
- a. s. 2002/2003
- The end
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